微分幾何(一):教育部教學實踐研究計畫 — 微分幾何課程教學改造與學生興趣提升之研究 2018.08–2019.07

• 活動 1 學習單
  • 認識曲線 — 找尋生活中常見的空間曲線, 利用數學描述空間曲線。
  • 了解幾何領域感興趣的問題以及每個階段中將遇到的困難與解決的方法。
• 活動 2 學習單
  • 認識正則曲線與弧長以及以弧長為參數化的曲線。
• 活動 3 學習單
  • 介紹曲線局部論基本定理; 藉此回答判斷兩條空間曲線是否全等的方法。
• 活動 4 學習單
  • 確實理解曲率與扭率的幾何意義以及曲率與扭率的一般公式。
• 活動 5 學習單
  • 以泰勒級數的觀點重新研究空間曲線的局部現象。
  • 研究曲線定向改變與各式幾何量之間的關係。
• 活動 6 學習單
  • 介紹平面曲線理論 — 有向曲率(signed curvature)。
  • 介紹平面曲線的整體性質(global geometry)。
• 活動 7 學習單
  • 認識二次曲面(quadric surface)。
• 活動 8 學習單
  • 認識正則參數曲面(regular parametric surfaces)。
• 活動 9 學習單
  • 本單元將探討隱函數與正則曲面之間的關係。
• 活動 10 學習單
  • 學習一些曲面的參數化表示。
  • 理解曲面的第一基本式(first fundamental form)。
• 活動 11 學習單
  • 探討如何利用曲面的第一基本式得到各式幾何量。

微分幾何(二):教育部教學實踐研究計畫 — 微分幾何課程教學改造與學生興趣提升之研究 2018.08–2019.07

• 活動 1 學習單
  • 探索曲面的定向(orientability)。
  • 介紹封閉曲面分類定理。
• 活動 2 學習單
  • 認識高斯映射及其微分映射之幾何意義。
• 活動 3 學習單
  • 認識曲面的第二基本式(second fundamental form)。
• 活動 4 學習單
  • 推導曲面的高斯曲率與均曲率公式的局部坐標表示法。
• 活動 5 學習單
  • 高斯曲率與均曲率的另一個刻畫。
• 活動 6 學習單
  • 認識保距映射(isometry) 與保角映射(conformal map)。
• 活動 7 學習單
  • 曲面的內孕性質(intrinsic property) 與高斯絕妙定理(Theorema Egregium)。
  • 認識曲面論基本定理。
• 活動 8 學習單
  • 高斯絕妙定理與曲面論基本定理的更進一步認識。
• 活動 9 學習單
  • 研究向量沿著曲線的變化, 並認識向量在曲面上的平行移動(parallel transport)。
  • 認識曲面上的測地線(geodesic)。
• 活動 10 學習單
  • 推得測地線方程式。
  • 推得向量場的共變微分公式。
  • 證明向量場平行移動之存在唯一性。
• 活動 11 學習單
  • 高斯–伯內定理(Gauss Bonnet Theorem) 的認識。
  • 高斯曲率的另一個解釋。
• 活動 12 學習單
  • 大域版本的高斯–伯內定理。
  • 曲面上向量場的奇異點指標與高斯–伯內定理的關係。